Las funciones de variables complejas, no son más que una aplicación cuyo dominio D y rango R son subconjuntos de la función C. este tipo de funciones se expresan exactamente como z=(x,y) para representar un complejo u/o elemento del dominio y w=(u,v) para el elemento que representa el rango.
Donde z=(x,y) → w=(u,v) = f(z) esto es una definición dado que u y v son partes reales e imaginarias de w, y son a su vez sendas funciones reales de dos variables.
f (z)=u(x,y)+iv(x,y) pero para dotar de rigor el tratamiento del cálculo integral, diferencial, sucesiones, series. Es necesaria la noción de continuidad. Para introducirse en la concepción de la noción de continuidad es más sencillo pasar por el significado de su opuesto lógico: la falta de continuidad.
Un primer acercamiento a la idea podría ser: “Los puntos x próximos al punto a no tienen una aplicación f(x) próxima a f(a)”.
Sin embargo, esta expresión carece de sentido porque la palabra “proximidad” es indefinida, y tiene
En el lenguaje corriente un significado relativo al contexto de referencia. Lo que puede ser próximo en un
Caso, puede no serlo en otro.
La noción de distancia con la consiguiente definición de entorno es la que permite dotar de rigor a las definiciones buscadas. Se puede decir con precisión entonces para una función
f : D −→ R
X 7−→ Y =f(X)
Donde D y R son subconjuntos de los espacios métricos E y E′, si dado un entorno de f(a), U(f(a)), no puede encontrarse ningún entorno de a, U(a), de modo tal que todos los elementos de U(a) ∩ D, tengan aplicación en U(f(a)), entonces la función f es discontinua en a.
Nota 1: Debe observarse que en la definición no se exige ninguna condición especial al punto a, salvo que pertenezca al dominio de la función para que exista f(a).
Nota 2: En la definición se interseca a U(a) con D, dominio de la función, para asegurar que para los puntos X considerados exista imagen f(X). En particular, el conjunto U(a) ∩ D nunca es vacío porque por lo menos contiene al punto a.
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